OPTIMIZACIÓN CON CRITERIO DE PRIMERA DERIVADA Y POR LAGRANGE

INTRODUCCIÓN

Los problemas de optimización desembocan en la búsqueda del máximo absoluto y el mínimo absoluto de una función en su dominio o en una parte de él. Así mismo la ecuación que queremos maximizar o minimizar se llama ecuación objetivo.

 Pasos para la resolución de problemas de optimización

1.       Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.

2.       Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.

3.       Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.

4.       Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

5.       Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

DESARROLLO

Problema:

Una viga de acero de 27 pies de longitud se transporta por un pasillo de 8 pies de ancho hasta un corredor perpendicular al pasillo. ¿Cuál debe ser el ancho del contenedor para que la viga pueda doblar la esquina? No considerar la anchura horizontal de la viga.

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

INTRODUCCIÓN

Los multiplicadores de Lagrange es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange.

1)Teniendo la función objetivo f(x,y) y la ecuación restrictiva g(x,y).

2)Uniendo la función ob jetivo y la ecuación restrictiva con los multiplicadores de Lagrange nos queda que F(x,y,λ)=f(x,y)+λ g(x,y)

3)Se derivan con respecto a “x” y después con respecto a “y”, se iguala a 0

4)Se forma un sistema de ecuaciones y se resuelve, obteniendo los valores de “x” y “y”

5)Se sustituyen los valores en la función objetivo

Problema

Una fábrica de juguetes produce tres artículos (barcos, aviones y coches) y depende principalmente del abastecimiento de dos materiales (plástico y metal). Los barcos se hacen por completo de plástico y los coches son todos de metal, pero los aviones requieren algo de cada material. Además los recursos son ilimitados. En las tablas siguientes se muestran las cantidades relativas necesarias y la disponibilidad de cada material.

CONCLUSIONES

—  A partir de una optimización se puede conocer el máximo o el mínimo del problema que nos proporcionan

—  Aplicando la primera derivada, encontramos nuestro punto crítico, que fue una parte de la longitud total de la viga.

—  Una vez conocida una parte de la longitud total de la viga, se puede conocer el ancho de nuestro contenedor.

—  El método de Lagrange no tiene límites en cuanto a número de variables de la función objetivo.

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